найти наименьшее значение функции e^2x-3e^x+2 на [0; 3]

Для нахождения наименьшего значения функции, сначала находим производную функции.

y ' = (e^2x - 3 * e^x + 2) ' = e^ (2 * x) * 2 - 3 * e^x = 2 * e^2x - 3 * e^x.

Затем, производную функции приравняем к 0 и найдем корни уравнения. Проверяем, принадлежат ли корни уравнений отрезку. Выбираем те корни, которые принадлежат отрезку [0; 3].

2 * e^2x - 3 * e^x = 0;

e^x * (2 * e^x - 3) = 0;

2 * e^x = 3;

e^x = 3/2;

x = ln (3/2);

Затем находим значение функции в точках отрезках, и в точках корней, принадлежащих отрезку. Из найденных значений выбираем наименьшее значение функции в точке.

y (0) = e^ (2 * 0) - 3 * e^0 + 2 = 1 - 3 + 2 = - 2 + 2 = 0;

y (3) = e^ (2 * 3) - 3 * e^3 + 2.

Ответ: y min = 0.