Докажите, что если натуральные числа a и b при делении на 3 дают в остатке 2, то их произведение при делении на 3 даёт в остатке 1.

Предположим, что:

1) натуральное число a при делении на 3 даёт целое число n и в остатке 2,

2) натуральное число b при делении на 3 даёт целое число m и в остатке 2.

Запишем число a как 3n + 2, а число b - как 3m + 2.

Их произведение запишем как

(3n + 2) (3m + 2) = 9nm + 6m + 6n + 4

Будет ли это число делиться на 3?

9nm + 6m + 6n + 4 = 3 (3nm + 2m + 2n) + 4

Какими бы ни были числа в скобках, всё число не будет делиться на 3 без остатка.

Можно записать его в общем виде как 3 Х + 4, где Х - любое натуральное число.

Тогда:

3 Х + 4 = 3 Х + 3 + 1 = 3 (Х + 1) + 1

Число вида 3 (Х + 1) + 1 при делении на 3 всегда даёт в остатке 1.