Решить систему уравнений: x^3+y^3=9 xy=2

1. Выделим куб суммы:

{x^3 + y^3 = 9;

{xy = 2; { (x + y) ^3 - 3xy (x + y) = 9;

{xy = 2; { (x + y) ^3 - 6 (x + y) = 9;

{xy = 2.

2. Обозначим:

x + y = z; z^3 - 6z = 9; z^3 - 6z - 9 = 0; z^3 - 3z^2 + 3z^2 - 9z + 3z - 9 = 0; z^2 (z - 3) + 3z (z - 3) + 3 (z - 3) = 0; (z - 3) (z^2 + 3z + 3) = 0.

a) z^2 + 3z + 3 = 0;

D = 3^2 - 4 * 3 = 9 - 12 = - 3 < 0, нет решений.

b) z = 3;

{x + y = 3;

{xy = 2.

3. По обратной теореме Виета x и y являются корнями уравнения:

p^2 - 3p + 2 = 0; D = 3^2 - 4 * 2 = 1; p = (3 ± 1) / 2; p1 = 1; p2 = 2.

Ответ: (1; 2), (2, 1).