Гипотенуза прямоугольного треугольника = 17 см. Если один из катетов уменьшить на 9 см то гипотенуза уменьшится на 7 см. Найдите меньший исходный катет.

Пусть первый катет прямоугольного треугольника равен х, а второй катет равен у. Зная, что гипотенуза равна 17 см, по теореме Пифагора (квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов) имеем х^2 + у^2 = 17^2. Если первый катет уменьшим на 9 см, то он будет равен (х - 9) см, и в этом случае гипотенуза уменьшится на 7 см и будет равна 17 - 7 = 10 см. По теореме Пифагора получим (х - 9) ^2 + у^2 = 10^2. Объединим уравнения в систему и решим её.

{х^2 + у^2 = 17^2; (х - 9) ^2 + у^2 = 10^2;

{х^2 + у^2 = 289; (х - 9) ^2 + у^2 = 100 - умножим почленно первое уравнение системы на (-1);

{-х^2 - у^2 = - 289; (х - 9) ^2 + у^2 = 100 - выполним почленное сложение уравнений системы;

(-х^2 + (х - 9) ^2) + (-у^2 + у^2) = - 289 + 100;

(х - 9) ^2 - х^2 = - 189;

х^2 - 18 х + 81 - х^2 = - 189;

-18 х = - 189 - 81;

-18 х = - 270;

х = - 270 : (-18);

х = 15 (см) - первый катет.

х^2 + у^2 = 289;

у^2 = 289 - х^2;

у^2 = 289 - 15^2 = 289 - 225 = 64;

у1 = √64 = 8 (см) - второй катет;

у2 = - 8 - длина стороны не может быть отрицательной.

Из двух катетов 15 см и 8 см меньший будет 8 см.

Ответ. 8 см.