Гипотенуза прямоугольного треугольника больше одного из катетов на 4 см а второго - на 18 см. Найдите периметр треугольника

Рассмотрим прямоугольный треугольник с гипотенузой, длина которой больше одного из катетов на 4 см, а второго - на 18 см. По требованию задания, вычислим периметр данного треугольника. Катеты и гипотенузу данного прямоугольного треугольника обозначим, соответственно, через a, b и с. Тогда, согласно условиям задания, с = a + 4 и c = b + 18 (здесь и далее в расчетах, до окончательного результата, опустим единицу измерения длины см). Тогда, катеты прямоугольного треугольника a и b выразятся через гипотенузу с следующими равенствами а = с - 4 и b = c - 18. Воспользуемся теоремой Пифагора, формула которой для нашего задания может быть оформлена в виде равенства с² = a² + b² или, после подстановки выражений для а и b из предыдущего пункта, с² = (с - 4) ² + (с - 18) ². Дважды воспользуемся формулой сокращенного умножения (a - b) ² = a² - 2 * a * b + b² (квадрат разности). Тогда, имеем: с² = с² - 2 * с * 4 + 4² + с² - 2 * с * 18 + 18² или, приводя подобные члены в правой части, с² = 2 * с² - 24 * с + 340, откуда с² - 44 * с + 340 = 0. Решим полученное квадратное уравнение. Нетрудно вычислить, что его дискриминант D = (-44) ² - 4 * 1 * 340 = 1936 - 1360 = 576 > 0. Следовательно, полученное квадратное уравнение имеет два различных корня: с₁ = (44 - √ (576)) / 2 = (44 - 24) / 2 = 10 и с₂ = (44 + √ (576)) / 2 = (44 + 24) / 2 = 34. Исследуем каждый корень по отдельности. Если с = 10, то последние формулы п. 2 позволяют вычислить: а = с - 4 = 10 - 4 = 6 и b = c - 18 = 10 - 18 = - 8, что невозможно для треугольника, то есть, с = 10 - побочный корень. При с = 34 те же формулы дают следующие правдивые результаты: а = с - 4 = 34 - 4 = 30 и b = c - 18 = 34 - 18 = 16. Нетрудно проверить, что треугольник со сторонами 30 см, 16 см и 34 см, существует. Теперь легко вычислим требуемый периметр треугольника: а + b + с = 30 см + 16 см + 34 см = 80 см.

Ответ: 80 см.