Площадь треугольника ABC равна 18. На стороне AB взята точка P, так, что AP:PB = 7:2, а на стороне BC - точка M так, что BM:MC=2:1. Найдите площадь треугольника BPM.

Площадь треугольника АВС можно найти как половину произведения сторон АВ и ВС на синус угла между ними:

SАВС = 0,5 * АВ * ВС * sin B;

АВ * ВС = 2 * SАВС / sin B = 2 * 18 / sin B = 36 / sin B.

Точка Р делит сторону АВ на отрезки, относящиеся как 7:2, значит ВР = 2 / 9 * АВ. Точка М делит ВС на отрезки 2:1, значит ВМ = 2 / 3 * ВС.

Площадь треугольника ВРМ найдем как половину произведения сторон ВР и ВМ на синус угла В:

SВРМ = 0,5 * ВР * ВМ * sin B.

Подставляя в формулу площади треугольника ВРМ значения для ВР и ВМ, получим:

SВРМ = 0,5 * 2 / 9 * АВ * 2 / 3 * ВС * sin B = 0,5 * (2 / 9) * (2 / 3) * (36 / sin B) * sin B = 2 * 36 / 27 = 72 / 27 = 8 / 3.