Решите уравнение cos4x+2cos^2x=0

Решение;

cos4x+2cos^2x=0

Разложим cos4x, по формуле двойного угла, получим;

cos^2 2x-sin^2 2x+2cos^2x=0;

Представим sin^2 2x через основное тригонометрическое тождество;

cos^2 2x - (1-cos^2 2x) + 2cos^2x=0;

Раскроем скобки и упростим выражение;

cos^2 2x-1+cos^2 2x+2cos^2x=0;

2cos^2 2x-1+2cos^2x=0;

Разложим cos2x, по формуле двойного угла, получим;

2 (cos^2x-sin^2x) ^2-1+2cos^2x=0;

Представим sin^2 2x через основное тригонометрическое тождество;

2 (cos^2x-sin^2x) ^2-1+2cos^2x=0;

2 (cos^2x - (1-cos^2x)) ^2-1+2cos^2x=0;

2 (2cos^2x-1) ^2-1+2cos^2x=0;

Раскроем квадрат разности

2 (4cos^4x-4cos^2x+1) - 1+2cos^2x=0;

Раскроем скобки;

8cos^4x-8cos^2x+2-1+2cos^2x=0;

Упростим выражение;

8cos^4x-6cos^2x+1=0;

Замена cos^2x=t;

8t^2-6t+1=0;

D=b^2-4ac = (-6) ^2-4*8*1=4

t1 = (-b-vD) / 2a;

t2 = (-b+vD) / 2a;

Подставим значения;

t1 = (-b-vD) / 2a=6-2/16=1/4;

t2 = (-b+vD) / 2a=6+2/16=1/2;

Обратная замена;

cos^2x=t1;

cos^2x=1/4;

х1=П/3+2 Пn;

х2=2 П/3+2 Пn;

cos^2x=t2;

cos^2x=1/2;

х3=П/4+2 Пn;

х4=-3 П/4+2 Пn;