На диагонали АС параллелограмма ABCD взята точка Р, К - точка пересечения прямой ВР и стороны AD. Найдите отношение АР: СР, если известно, что АК:DK=5:3.

Пусть дан параллелограмм ABCD, на диагонали АС взята точка Р, К - точка пересечения прямой ВР и стороны AD. Через вершину параллелограмма С проведём прямую, параллельную ВК, М - точка пересечения этой прямой и стороны AD, получили параллелограмм КВСМ, в котором КМ = ВС = АD. Обозначим коэффициент пропорциональности буквой х, тогда так как АК : DK = 5 : 3, то АК = 5 ∙ х; DK = 3 ∙ х; АD = АК + DK = 5 ∙ х + 3 ∙ х = 8 ∙ х.

Рассмотрим угол САМ, на его стороне отложены отрезки АК = 5 ∙ х и КМ = 8 ∙ х, то есть АК: КМ = 5 : 8. Через концы этих отрезков проведены параллельные прямые ВК и СМ, пересекающие вторую сторону АС угла САМ, которые по теореме Фалеса отсекают на второй стороне пропорциональные отрезки в том же отношении АР: СР = 5 : 8.