1) Существует ли такое натуральное число N, что сумма цифр числа 2N делиться на 12; 2) Делится ли число 10^2013+8, делится ли на 9 3) Найдите последнюю цифру числа 2013^2015+2015^2017

1) Число делится на 12, если делится на 4 и 3. На 4 делится число, если число из двух последних чисел делится на 4. на 3 делится число, если сумма цифр числа делится на3.

Напишем такие числа для двузначных чисел. 24 * 2 = 48. 4 + 8 = 12, делится на 12. Число 42 * 2 = 84: 8 + 4 = 12.

Ответ: пока два числа 24 и 42.

2) 10 ^ 2013 + 8 делится на 9, так как на 9 делится то число, сумма цифр которого делится на 9.

10 ^ 2013 представляет собой число 100000 ... 00000, прибавив 8, получим число 100000 ... 00008. Сумма цифр этого числа равна 8 + 1 + 9, значит, и число делится на 9.

3) 2013^2015 + 2015^2017

Второе слагаемое оканчивается на 5, как число 5 в любой степени.

А число 2013^2015 оканчивается так же как и 3 в нечётной степени: 3 ^ 1 = 3, 3 ^ 3 = 27.

Рассчитав что 2015 = 503 * 4 + 3 считаем, что 3 ^ 1 = 3, 3 ^ 2 = 9, 3 ^ 3 = 27, то есть 2013^2015 оканчивается на 7.

А 7 + 5 = 12, и сумма степеней оканчивается на цифру 2.