В классе 13 мальчиков и 13 девочек. На новый год каждый мальчик отправил смс 6-и девочкам, а каждая девочка 8-и мальчикам. Обязательно ли найдутся мальчик и девочка, обменявшиеся смс?

Пусть все 13 мальчиков отправили сообщения одним и тем же 6 девочкам, а все девочки одним и тем же 8 мальчикам.

Тогда, среди 8 мальчиков найдутся 6 мальчиков, которые обменяются сообщениями с 6 девочками.

Пусть теперь 8 мальчиков из 13 мальчиков отправили по сообщению 6 одним и тем же девочкам.

Тогда, 7 девочек не получили сообщение вообще, а 6 девочек получили.

Пусть эти 7 девочек, которые не получили сообщение, отправляют сообщение 8 одним и тем же мальчикам, отличным от тех, кто отправлял девочкам сообщения.

Тогда, 5 мальчиков не получили сообщение вообще, а 8 мальчиков получили.

Значит, 8 мальчиков получили и 8 мальчиков отправили.

Всего 8 + 8 = 16 мальчиков.

Но по условию мальчиков 13, значит, трое из них обменялись с девочками сообщениями.

Следовательно, 3 девочки и 3 мальчиков обменялись сообщениями.

Таким образом, найдутся мальчик и девочка, обменявшиеся сообщениями.