Исследуйте функцию y = (x^2-1) ^2

1) Область определения и область значений.

D (f) = R, х любое число.

E (f) = R, у любое число.

2) Нули функции. Найдем точки пересечения графика с осью х.

у = 0.

y = (x² - 1) ².

(x² - 1) ² = 0;

x² - 1 = 0;

x² = 1; х = - 1 и х = 1.

График функции пересекает ось х в точках - 1 и 1.

Найдем точку пересечения с осью у.

х = 0.

у = (x² - 1) ² = (0² - 1) ² = (-1) ² = 1.

График пересекает ось у в точке 1.

3) Определим четность функции.

f (x) = (x² - 1) ².

f ( - x) = ((-x) ² - 1) ² = (x² - 1) ².

f (x) равно f ( - x), значит функция четная.

4) Определим промежутки знакопостоянства.

Так как значение выражения (x² - 1) ² всегда положительно, то у > 0 на всем протяжении кроме точек пересечения с осью х (-1 и 1).

5) Промежутки возрастания и убывания функции.

Найдем производную функции.

f (x) = (x² - 1) ²

f' (x) = 2 (x² - 1) * (x² - 1) ' = (2x² - 2) * 2 х = 4 х³ - 4 х.

Приравняем производную к нулю.

f' (x) = 0;

4 х³ - 4 х = 0;

4 х (x² - 1) = 0; 4 х (х - 1) (х + 1) = 0.

х = 0; х = - 1 и х = 1.

Отмечаем на числовой прямой точки - 1, 0 и 1, выделяем дугами интервалы, расставляем знаки каждого интервала, начиная в крайнего правого (+), а потом чередуя плюс и минус.

(-∞; - 1) производная (-), функция убывает.

(-1; 0) производная (+), функция возрастает.

(0; 1) производная (-), функция убывает.

(1; + ∞) производная (+), функция возрастает.

Значит, точки - 1 и 1 - это точки минимума, а 0 - это точка максимума.

Найдем экстремумы функции:

у = (x² - 1) ².

х_min = - 1; у = ((-1) ² - 1) ² = 0.

х_min = 1; у = (1² - 1) ² = 0.

х_max = 0; у = у = (0² - 1) ² = 1.