Найти производную функции: у=tgx/x

1. Производная частного двух выражений:

(u/v) ' = (u' * v - v' * u) / (v^2). (1)

2. Найдем производную тригонометрической функции tgx:

(tgx) ' = (sinx/cosx) '; (tgx) ' = ((sinx) ' * cosx - (cosx) ' * sinx) / (cos^2 (x)); (tgx) ' = (cosx * cosx - (-sinx) * sinx) / (cos^2 (x)); (tgx) ' = (cos^2 (x) + sin^2 (x)) / (cos^2 (x)); (tgx) ' = 1 / (cos^2 (x)). (2)

3. С помощью уравнений (1) и (2) найдем производную заданной функции:

у = tgx/x;

y' = ((tgx) ' * x - x' * tgx) / x^2; y' = (1/cos^2 (x) * x - 1 * tgx) / x^2; y' = (x/cos^2 (x) - sinx/cosx) / x^2; y' = ((x - sinx * cosx) / cos^2 (x)) / x^2; y' = ((2x - 2sinx * cosx) / 2cos^2 (x)) / x^2; y' = ((2x - sin (2x)) / (1 + cos (2x)) / x^2; y' = (2x - sin (2x)) / (x^2 (1 + cos (2x))).

Ответ: y' = (2x - sin (2x)) / (x^2 (1 + cos (2x))).