Докажите, что: а) ad+bc+ac+bd делится на a+b; б) если ad+bc делится на a+b, то и ac+bd делится на а+b; в) если ad+bc не делится на a+b, то и ac+bd не делится на a+b;

а) Проведём преобразования данного выражения:

a * d + b * c + a * c + b * d = (a * d + b * d) + (b * c + a * c) =

= (a + b) * d + (a + b) * c = (a + b) * (c + d).

Следовательно, выражение делится на a + b.

б) Если a * d + b * c делится на a + b, то имеем:

a * d + b * c = (a + b) * n, где n - целое число.

Рассмотрим сумму выражений:

(a * c + b * d) + (a * d + b * c) = (a * c + a * d) + (b * d + b * c) =

= a * (c + d) + b * (c + d) = (a + b) * (c + d).

Тогда имеем:

a * c + b * d = a * d + b * c + (a + b) * (c + d) =

= (a + b) * n + (a + b) * (c + d) = (a + b) * (c + d + n).

Следовательно, a * c + b * d делится на a + b.

в) Если a * d + b * c не делится на a + b, то имеем:

a * d + b * c = (a + b) * n + r, где n, r - целые числа и r - остаток.

Рассмотрим сумму выражений:

(a * c + b * d) + (a * d + b * c) = (a * c + a * d) + (b * d + b * c) =

= a * (c + d) + b * (c + d) = (a + b) * (c + d).

Тогда имеем:

a * c + b * d = a * d + b * c + (a + b) * (c + d) =

= (a + b) * n + r + (a + b) * (c + d) = (a + b) * (c + d + n) + r.

Следовательно, a * c + b * d делится на a + b c остатком r, а значит, не делится на a + b.