Доказать неравенство (3x+8) ^2>3x (x+16)

1. Обозначим разность выражений в левой и правой частях через f (x) и докажем, что она больше нуля:

(3x + 8) ^2 > 3x (x + 16); f (x) = (3x + 8) ^2 - 3x (x + 16).

2. Раскроем скобки, используя формулу:

(a + b) 2 = a^2 + 2ab + b^2; f (x) = (3x) ^2 + 2 * 3x * 8 + 8^2 - 3x^2 - 3x * 16; f (x) = 9x^2 + 48x + 64 - 3x^2 - 48x.

3. Приведем подобные члены:

f (x) = 6x^2 + 64.

Для квадрата верно нестрогое неравенство:

6x^2 ≥ 0.

Если прибавим 64 к обеим частям, то получим строгое неравенство:

6x^2 + 64 > 0; f (x) > 0.

Доказано.