Cos2x+sinx+sinx=0,25

Преобразуем выражение и получим:

Cos 2 х + 2sin х - 0,25 = 0.

Теперь разложим Cos 2 х по формуле косинуса двойного угла или косинуса суммы двух углов.

Cos 2 х = Cos² х - sin² х.

Воспользуемся еще одной формулой: Cos² х + sin² х = 1.

Выразим Cos² х через sin² х : Cos² х = 1 - sin² х.

Подставим в выражение Cos 2 х = Cos² х - sin² х.

Cos 2 х = 1 - 2sin² х.

Теперь это выражение подставим в первоначальное уравнение.

1 - 2sin² х + 2sin х - 0,25 = 0.

Упростим и произведем замену y = sin х, где - 1 > = у > = 1.

1 - 2 у² + 2 у + 0,25 = 0.

2 у² - 2 у - 0,75 = 0.

Определим дискриминант.

D = (-2) ² - 4 * 2 * (-0,75) = 4 + 6 = 10.

У₁ = ( - (-2) + √10) / (2 * 2) = (2 + √10) / 4 = 1,29.

Корень У₁ не удовлетворяет условиям - 1 > = у > = 1, поэтому не подходит.

У₂ = ( - (-2) - √10) / (2 * 2) = (2 - √10) / 4 = - 0,29.

Получается, уравнение имеет единственный корень у = - 0,29.

Теперь рассмотрим уравнение y = sin х.

sin х = - 0,29.

Х = (-1) ⁿ * arcsin (-0,29) + 2πn, где n - любые целый числа.

Ответ: Х = (-1) ⁿ * arcsin (-0,29) + πn.