1) Пароход в течение 6 ч проплывает по течению реки 36 км, а против течения - 48 км. В другом случае он также в течение 6 ч проплывает по течению 54 км и против течения - 36 км. Найдите собственную скорость парохода и скорость течения реки.

Так как пароход плывёт по течению против течения, то составим для каждого направления определённые значения. (V - скорость)

По течению реки:

V собственная = Х км/ч;

V течения = У км/ч;

Тогда V по течению = Х + У км/ч.

S = V x t (S - путь; V - скорость; t - время);

S по течению = 36 км;

t по течению = 36 / (Х + У) ч.

Теперь найдём данные против течения реки:

Если V соб. - Х км/ч; V теч. - У км/ч, то V против течения = Х - У км/ч;

S против течения = 48 км;

t против течения = 48 / (Х - У) ч.

Если сложить время по течению и против течения, то мы получим время всего пути:

t по течению + t против течения = t = 6 (часов).

Таким образом, получим уравнение: 36 / (Х + У) + 48 / (Х - У) = 6.

Теперь найдём пути и времена в другом случае, используя значения скоростей из первого:

S по течению = 54 км;

t по течению = 54 / (Х + У) км/ч.

S против течения = 36 км;

t против течения = 36 / (Х - У) км/ч.

Получим уравнение: 54 / (Х + У) + 36 / (Х - У) = 6.

Составим и решим систему уравнений:

36 / (Х + У) + 48 / (Х - У) = 6;

54 / (Х + У) + 36 / (Х - У) = 6;

ОДЗ: Х + У > 0; Х - У > 0.

Приведем оба уравнения к общему знаменателю (Х + У) * (Х - У):

36 * (Х - У) + 48 * (Х + У) = 6 * (Х^2 - У^2);

54 * (Х - У) + 36 * (Х + У) = 6 * (Х^2 - У^2);

Вычтем из первого уравнение второе:

-18 * (Х - У) + 12 * (Х + У) = 0;

-18 Х + 18 У + 12 Х + 12 У = 0;

-6 Х + 30 У = 0;

-6 Х = - 30 У;

Х = 5 У.

Подставим это значение Х в, допустим, 1 уравнение (также мы можем подставить и во второе):

36 / (5 У + У) + 48 / (5 У - У) = 6;

ОДЗ: 5 У + У > 0; 5 У - У > 0; 6 У > 0; 4 У > 0; У > 0.

Приведём к общему знаменателю (5 У + У) * (5 У - У):

36 * (5 У - У) + 48 * (5 У + У) = 6 * 24 У^2;

36 * 4 У + 48 * 6 У = 144 У^2;

144 У + 288 У = 144 У^2;

432 У = 144 У^2;

432 У - 144 У^2 = 0;

Разделим правую и левую часть на - 1:

144 У^2 - 432 У = 0;

Вынесем 144 У за скобки:

144 У * (У - 3) = 0;

144 У = 0; У = 0 - не удовлетворяет условия задачи;

У - 3 = 0; У = 3.

3 км/ч - скорость течения реки.

Теперь, зная скорость течения, мы можем найти собственную скорость парохода, для этого подставим значение У в значение Х:

Х = 5 У; Х = 3 * 5 = 15 км/ч.

15 км/ч - собственная скорость парохода.

Ответ: 15 км/ч; 3 км/ч.