Дана функция f (x) = x^2+2x-2. Напишите уравнение касательной к графику функции y=f (x), проходящий через точку А (0; -6)

Уравнение касательной к графику функции f (x) в точке a имеет вид:

y = f (a) + f ' (a) (x - a)

Проверим, принадлежит ли точка A графику.

f (0) = - 2, не принадлежит.

Значение f (x) в точке a: f (a) = a² + 2a - 2

Найдем f' (x)

f' (x) = (x² + 2x - 2) ' = 2x + 2

Значение f' (x) в точке a: f' (a) = 2a + 2

Запишем уравнение касательной:

y = a² + 2a - 2 + (2a + 2) (x - a)

Касательная должна проходить через точку А (0; -6), значит при подстановке в уравнение касательной координат x = 0 и y = - 6 должно получиться верное равенство.

-6 = a² + 2a - 2 + (2a + 2) (0 - a)

-6 = a² + 2a - 2 - 2a² - 2a

4 = a²

a₁ = 2, a₂ = - 2

Касательная в точке a₁ = 2

y1 = 2² + 2 * 2 - 2 + (2 * 2 + 2) (x - 2) = 6 + 6 (x - 2) = 6x - 6

Касательная в точке a₂ = - 2

y2 = (-2) ² + 2 * (-2) - 2 + (2 * (-2) + 2) (x + 2) = - 2x - 6