1) точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости, K, M, P - середины отрезков AB, BC, CD соответственно. Докажите, что плоскость KMP параллельна прямым AC, BD2) Плоскости альфа и бета параллельны, причпм плоскость альфа пересекает некоторую прямую а. Докажите, что и плоскость бета пересекает прямую а.

1. Рассмотрим треугольник АВС, очевидно, что КМ - это его средняя линия и по свойству средней линии параллельна АС. Аналогично в треугольнике ВСD - МР - средняя линия и параллельна ВD. По признаку параллельности прямой и плоскости, плоскость параллельна прямой, если содержит прямую параллельную заданной. По вышесказанному АС и ВD параллельны КМР.

2. Проведем доказательство от противного. Пусть прямая а и плоскость в не пересекаются, тогда они параллельны. Назовем точку пересечения плоскости а и прямой а - М. Через точку плоскости в - С, а также прямую а проведем плоскость, которая пересечет плоскость а по прямой с, а плоскость в по прямой р. Прямые р и с параллельны (по свойствам параллельных плоскостей и секущей плоскости). Прямые а и с также параллельны (лежат в одной плоскости и не пересекаются по нашему предположению). Получаем, что через точку М проходит две прямые параллельные с - а и р, а это противоречит аксиоме параллельности. Наше предположение неверно, прямая а и плоскость в пересекаются.