Найдите площадь поверхности прямой призмы, если: 1) основой призмы является правильный треугольник, а диагональ боковой грани равна 12 см и наклонена к плоскости основания под углом 60 °; 2) основой призмы является прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см, а площадь большей боковой грани равна 10 см2; 3) основой призмы является равнобедренный треугольник с углом а при вершине, а большая боковая грань имеет форму квадрата со стороной а.

1.

Боковая грань призмы прямоугольник с диагональю 12 см и углом 60⁰. Тогда сторона треугольника в основании лежит против угла 30⁰ и равна половине гипотенузы. Сторона основания равна 12 / 2 = 6 см.

Второй катет есть высота призмы. h² = 12² - 6² = 144 - 36 = 108. H = 6 * √3 см.

Площадь основания призмы равна площади правильного треугольника со стороной 6 см.

Sбок = 3 * 6 * h = 18 * 6 * √3 = 108 * √3 см².

Ответ: 108 * √3 см².

2.

Катеты прямоугольного треугольника в основании призмы равны 3 см и 4 см, тогда его гипотенуза будет равна 5 см.

Периметр основания равен Р = 3 + 4 + 5 = 12 см.

Площадь боковой грани при гипотенузе равна 10 см², тогда высота призмы равна: h = 10 / 5 = 2 см.

Тогда Sбок = Р * h = 12 * 2 = 24 см².

Ответ: 24 см².

3.

Пусть большая сторона треугольника есть его основание, тогда его длина равна а см.

Боковые стороны равнобедренного треугольника в основании призмы равны: (а / 2 * Sin (α/2)).

Тогда Sбок = а² + (2 * а² / (2 * Sin (α/2)) = а² + а² / Sin (α/2) = а² * (1 + 1 / Sin (α/2)).

Ответ: а² * (1 + 1 / Sin (α/2)).