Решить неравенство (4^x-2^ (x+3) + 7) / (4^x-5⋅2^x+4) ≤ (2^x-9) / (2^x-4) + 1 / (2^x+6)

(4^x - 2^ (x + 3) + 7) / (4^x - 5 * 2^x + 4) ≤ (2^x - 9) / (2^x - 4) + 1 / (2^x + 6).

1) Преобразуем первую дробь:

((2^x) ^2 - 8 * 2^x + 7) / ((2^x) ^2 - 5 * 2^x + 4) ≤ (2^x - 9) / (2^x - 4) + 1 / (2^x + 6).

2) Произведем замену: пусть 2^x = а (а > 0).

(а^2 - 8 а + 7) / (а^2 - 5 а + 4) ≤ (а - 9) / (а - 4) + 1 / (а + 6).

3) Разложим на множители а^2 - 8 а + 7:

Подберем корни квадратного уравнения с помощью теоремы Виета: х₁ + х₂ = 8; х₁ * х₂ = 7.

Корни равны 1 и 7. Значит, а^2 - 8 а + 7 = (а - 1) (а - 7).

4) Разложим на множители а^2 - 5 а + 4:

Подберем корни квадратного уравнения с помощью теоремы Виета: х₁ + х₂ = 5; х₁ * х₂ = 4.

Корни равны 1 и 4. Значит, а^2 - 5 а + 4 = (а - 1) (а - 4).

5) Получается неравенство:

(а - 1) (а - 7) / (а - 1) (а - 4) ≤ (а - 9) / (а - 4) + 1 / (а + 6).

Скобка (а - 1) сокращается (а не равно 1).

(а - 7) / (а - 4) ≤ (а - 9) / (а - 4) + 1 / (а + 6).

6) Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю:

(а - 7) / (а - 4) - (а - 9) / (а - 4) - 1 / (а + 6) ≤ 0;

((а - 7) (а + 6) - (а - 9) (а + 6) - (а - 4)) / (а - 4) (а + 6) ≤ 0;

Раскрываем скобки и подводим подобные члены:

(а^2 - 7 а + 6 а - 42 - а^2 + 9 а - 6 а + 54 - а + 4) / (а - 4) (а + 6) ≤ 0;

(а + 16) / (а - 4) (а + 6) ≤ 0.

7) Решим неравенство методом интервалов:

а + 16 = 0; а = - 16.

а - 4 = 0; а = 4.

а + 6 = 0; а = - 6.

Отмечаем на числовой прямой точки - 16, - 6 и 4, выделяем дугами интервалы, расставляем знаки каждого интервала, начиная в крайнего правого (+), а потом чередуя плюс и минус.

(-) - 16 (+) - 6 (-) 4 (+).

Так как а > 0, то интервалы будут такие: 0 (-) 4 (+).

Так как знак неравенства ≤ 0, то ответом будут интервалы, где стоит знак (-).

То есть (0; 4].

Значит а > 0 и а ≤ 4.

8) Возвращаемся к замене 2^x = а:

2^x > 0; х - любое число.

2^x ≤ 4; 2^x ≤ 2^2; x ≤ 2.

Ответ: х принадлежит промежутку (-∞; 2).