Дана геометрическая прогрессия () : 2048; -256; 32 ... Найдите сумму первых пяти её членов

В задании утверждается, что последовательность чисел 2048; - 256; 32; ... (общий (n-й) член которой обозначим через b_n) является геометрической прогрессией и требуется найти сумму первых пяти членов данной геометрической прогрессии. Вначале, используя определение геометрической прогрессии, проверим, действительно ли данная последовательность чисел является геометрической прогрессией. За одно (в случае подтверждения), найдём знаменатель q геометрической прогрессии. Имеем: q = b₂ : b₁ = - 256 : 2048 = - 1/8; b₃ : b₂ = 32 : (-256) = - 1/8 = q. Утверждение задания подтвердилось. Для того, чтобы вычислить требуемое сумму первых пяти членов S₅, воспользуемся формулой S_n = b₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q), q ≠ 1. Тогда, получим S₅ = b₁ * (1 - q⁵) / (1 - q) = 2048 * (1 - (-1/8) ⁵) / (1 - (-1/8)) = 2048 * (1 + 1/32768) / (1 + 1/8) = 2048 * ((32768 + 1) / 32768) / ((8 + 1) / 8) = (2048 * 32769 * 8) / (32768 * 9) = 3641/2 = 1820,5. Заметим, что требуемую сумму можно было найти просто - суммируя первые пять членов данной геометрической прогрессии 2048; - 256; 32; - 4; 0,5. Тогда, 2048 + (-256) + 32 + (-4) + 0,5 = 1820,5.

Ответ: S₅ = 1820,5.