В сплаве олова с медью содержалось 11 кг меди. После того, как в сплав добавили 7,5 кг олова, содержание олова повысилось на 33%. Какова была первоначальная масса сплава?

Найдем концентрацию олова в первоначальном сплаве Пусть Х - это масса сплава до добавления в него 7,5 кг олова. Все количество сплава берем за 100%, тогда 1% от массы первоначального сплава равна Х/100%. Если в первоначальном сплаве 11 кг меди, значит, олова содержится (Х - 11) кг. Тогда концентрация олова равна (Х - 11) : (Х/100) %. Выразим концентрацию олова в новом сплаве Масса нового сплава равна (Х + 7,5). Масса 1% равна (Х + 7,5) / 100. Масса олова в новом сплаве равна Х - 11 + 7,5 = Х - 3,5 (кг). Тогда концентрация олова в новом сплаве равна (Х - 3,5) : (Х + 7,5) / 100 (%). Составим уравнение нахождения массы сплава

Так как разница в концентрации олова в первоначальном и новом сплаве равна 33%, получается уравнение:

(Х - 3,5) : (Х + 7,5) / 100 - (Х - 11) : (Х) / 100 = 33

Решаем получившееся уравнение:

1. Избавимся от лишнего деления в уравнении:

(Х - 3,5) * (100/Х + 7,5) - (Х - 11) * 100 / (Х) = 33

2. Раскрываем скобки и переносим 33 из правой части в левую:

(100 Х - 350) / (Х + 7,5) - (100 Х - 1100) / (Х) - 33 = 0

3. Приводим к общему знаменателю:

(100 Х - 350) Х - (100 Х - 1100) (Х + 7,5) - 33 (Х² + 7,5 Х) = 0

4. Раскрываем скобки и подводим подобные члены:

100 х² - 350 Х - 100 Х² - 750 Х + 1100 Х + 8250 - 33 Х² - 247,5 Х = 0

- 33 Х² - 247,5 Х + 8250 = 0 | * ( - 1)

33 Х² + 247,5 Х - 8250 = 0 | : 33

Х² + 7,5 Х - 250 = 0

5. Решаем уравнение через дискриминант:

D = 7,5² - 4 * ( - 250) = 56,25 + 1000 = 1056,25 (кв. корень равен 32,5)

Х₁ = ( - 7,5 - 32,5) / 2 = - 40/2 = - 20 (отрицательный корень, не подходит по смыслу)

Х₂ = ( - 7,5 + 32,5) / 2 = 25/2 = 12,5

Мы обозначали первоначальную массу сплава за Х, значит ответ:

Первоначальная масса сплава равна 12,5 кг.

Обозначим через х первоначальную массу сплава.

Первоначальная масса олова в сплаве х - 11 кг., а первоначальное содержание олова (х - 11) / х

После добавления олова в сплав масса олова в сплаве составила х - 11 + 7,5 = х - 3.5 кг, а содержание олова в сплаве (х - 3.5) / (х + 7.5)

Составляем уравнение (х - 3.5) / (х + 7.5) = (х - 11) / х + 0.33

Умножим обе части уравнения на х (х + 7.5)

х (х - 3.5) = (х - 11) (х + 7.5) + 0.33 х (х + 7.5)

(х - 11) (х + 7.5) + 0.33 х (х + 7.5) - х (х - 3.5) = 0

Раскрываем скобки и получаем квадратное уравнение

0.33 х^2 + 0.33 * 7.5 х - 82.5 = 0

х^2 + 7.5 х - 250 = 0

D = 56.25 + 1000 = 1056.25

2 корня х = 12.5 и х = - 20

х = - 20 не соответствует условию задачи - первоначальная масса сплава не может быть отрицательным числом

Подходит 1 корень х = 12.5

Ответ: 12.5 кг