Докажите, что при любых значениях х выражение принимает положительные значения х²+8 х+19

Для того, чтобы доказать, что при любых значениях x выражение принимает положительные значения x² + 8x + 19 давайте выделим полный квадрат из заданного выражения.

Итак, представим число 19 в виде суммы 16 и 3 и получим:

x² + 8x + 19 = x² + 8x + 16 + 3 = (x² + 8x + 16) + 3;

Выражение в скобках можно свернуть по формуле сокращенного умножения квадрат суммы:

(a + b) ² = a² + 2ab + b².

(x² + 8x + 16) + 3 = (x + 4) ² + 3.

В результате мы получили суммы квадрата выражения и числа 3, которая заведомо будет положительным числом.