Решите систему уравнений: x+y+x/y=1/2, (x+y) x/y = - 1/2

1. Обозначим:

{x + y = p;

{x/y = q; {x + y + x/y = 1/2;

{ (x + y) x/y = - 1/2; {p + q = 1/2;

{pq = - 1/2.

2. По обратной теореме Виета, p и q являются корнями приведенного квадратного уравнения:

r^2 - 1/2 * r - 1/2 = 0;

2r^2 - r - 1 = 0;

D = 1 + 4 * 2 = 9;

r = (1 ± √9) / 4 = (1 ± 3) / 4;

r1 = (1 - 3) / 4 = - 2/4 = - 1/2; r2 = (1 + 3) / 4 = 4/4 = 1.

(p; q) = (-1/2; 1), (1; - 1/2).

3. Найдем значения x и y:

{x + y = p;

{x/y = q; {qy + y = p;

{x = qy; { (q + 1) y = p;

{x = qy; {y = p / (q + 1);

{x = qy.

a) (p; q) = (-1/2; 1).

y = - 1/2 / (1 + 1) = - 1/4;

x = 1 * (-1/4) = - 1/4;

(x; y) = (-1/4; - 1/4);

b) (p; q) = (1; - 1/2).

y = 1 / (1 - 1/2) = 1 / (1/2) = 2;

x = - 1/2 * 2 = - 1;

(x; y) = (-1; 2).

Ответ: (-1/4; - 1/4), (-1; 2).