Решите систему уравнений 4^x*4^y=32; 4^x+4^y=12

Система уравнений:

4 ^ x * 4 ^ y = 32;

4 ^ x + 4 ^ y = 12;

1) Из второго уравнения выразим:

4 ^ x + 4 ^ y = 12;

4 ^ x = 12 - 4 ^ y;

2) Подставим в первое уравнение:

4 ^ x * 4 ^ y = 32;

(12 - 4 ^ y) * 4 ^ y = 32;

12 * 4 ^ y - (4 ^ y) ^ 2 = 32;

(4 ^ y) ^ 2 - 12 * 4 ^ y + 32 = 0;

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

D = b ^ 2 - 4ac = ( - 12) ^ 2 - 4·1·32 = 144 - 128 = 16;

Так как дискриминант больше нуля то, квадратное уравнение имеет два действительных корня:

4 ^ x = (12 - √16) / (2 · 1) = (12 - 4) / 2 = 8 / 2 = 4;

4 ^ x = (12 + √16) / (2 · 1) = (12 + 4) / 2 = 16 / 2 = 8;

Тогда:

4 ^ x = 4, x = 1;

4 ^ x = 8, x = log4 8;

3) Найдем y:

1. 4 ^ 1 = 12 - 4 ^ y;

- 4 ^ y = 4 - 12;

4 ^ y = 8;

y = log4 8;

2. 4 ^ x = 12 - 4 ^ y;

4 ^ (log4 8) = 12 - 4 ^ y;

8 = 12 - 4 ^ y;

4 ^ y = 4;

y = 1;

Ответ: (1; log4 8), (log4 8; 1).