При каком значении a прямая y = 24x + a является касательной к графику функции y = x^3 + 3x + 5?

Уравнение касательной к к графику функции f (x) в точке х = х0 имеет следующий вид:

у = f' (x0) * (х - х0) + f (x0).

Следовательно, для того, чтобы прямая y = 24x + a являлась касательной к графику функции y = x³ + 3x + 5 в некоторой точке х0, необходимо, чтобы производная этой функции в данной точке равнялась 24.

Найдем производную функции y = x³ + 3x + 5:

y' = (x³ + 3x + 5) ' = 3 х² + 3.

Найдем в какой точке данная производная равна 24. Для этого решим уравнение:

3 х² + 3 = 24;

3 х² = 24 - 3;

3 х² = 21;

х² = 21 / 3;

х² = 7;

х1 = - √7;

х2 = √7.

Найдем значения функции y = x³ + 3x + 5 в этих точках:

y (-√7) = (-√7) ³ + 3 * (-√7) + 5 = - 7√7 - 3√7 + 5 = 5 - 10√7;

y (√7) = (√7) ³ + 3 * (√7) + 5 = 7√7 + 3√7 + 5 = 5 + 10√7.

Запишем уравнения касательных к графику функции y = x³ + 3x + 5 в этих точках.

В точке х = - √7;

у = 24 * (х + √7) + 5 - 10√7;

у = 24 х + 24√7 + 5 - 10√7;

у = 24 х + 5 + 14√7.

В точке х = √7;

у = 24 * (х - √7) + 5 + 10√7;

у = 24 х - 24√7 + 5 + 10√7;

у = 24 х + 5 - 14√7.

Следовательно, прямая y = 24x + a является касательной к графику функции y = x³ + 3x + 5 при а = 5 + 14√7 и а = 5 - 14√7.

Ответ: прямая y = 24x + a является касательной к графику функции y = x³ + 3x + 5 при а = 5 + 14√7 и а = 5 - 14√7.