Для геометрической прогрессии (bn) известно: b1=15; n=3; Sn=65/3. Найти: q и bn

Подставим данные значения в формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии.

S_n = b₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q).

65/3 = 15 * (1 - q³) / (1 - q).

Решим уравнение, отыщем значение знаменателя q.

65/3 * 15 = (1 - q) (1 + q + q²) / (1 - q);

13/9 = 1 + q + q².

Умножим обе части равенства на 9 и решим квадратное уравнение.

9q² + 9q - 4 = 0;

D = 9 * 9 + 4 * 9 * 4 = 81 + 144 = 225 = 15².

q₁ = ( - 9 + 15) / 2 * 9 = 6/2 * 3 * 3 = 1/3;

q₂ = ( - 9 - 15) / 2 * 9 = - 24/2 * 3 * 3 = - 4/3.

Найдём значение третьего члена b_n для q₁ = 1/3.

b₃ = b₁ * (1/3) ² = 15 * 1/9 = 5/3.

Найдём значение третьего члена b_n для q₁ = - 4/3.

b₃ = b₁ * ( - 4/3) ² = 15 * 16/9 = 80/3.

Ответ: для q₁ = 1/3 третий член b₃ = 5/3; для q₂ = - 4/3 третий член b₃ = 80/3.