1. Сколько способов зажечь 5 лампочек, если в комнате их 8 и каждая имеет отдельный выключатель? 2. Сколько существует 5-значных чисел, одинаково читающихся справа налево и слева направо?

1) Количество вариантов равно количеству сочетаний из 8 по 5. Воспользуемся известной формулой: C = n! / (n - k) ! * k!, получим:

C = 8! / 3! * 5! = 6 * 7 * 8 / 1 * 2 * 3 = 56.

Ответ: 56 способов.

2) Очевидно, что такие числа состоят из 3-х цифр. Задача сводится к поиску количества сочетаний из 10 по 3. Используя вышеприведенную формулу, получим:

C = 10! / 7! * 3! = 8 * 9 * 10 / 1 * 2 * 3 = 120.

Из результата необходимо вычесть 10, так как 0 в старшем разряде не имеет смысла:

120 - 10 = 110.