Sinxtgx + 1 = sinx + tgx доказать, что только 1 единственный корень находится в промежутке [ 0; pi ] и найти его.

Предположим, что рассматриваются такие углы х, для которых данное уравнение sinx * tgx + 1 = sinx + tgx имеет смысл, то есть, х ≠ π/2 + π * k, где k ∈ Z, Z - множество целых чисел. Перепишем данное уравнение в виде: sinx * tgx + 1 - sinx - tgx = 0 или sinx * (tgx - 1) - (tgx - 1) = 0, откуда (sinx - 1) * (tgx - 1) = 0. Для того, чтобы произведение двух сомножителей равнялось нулю, необходимым и достаточным условием является равенство нулю хотя бы одного из сомножителей. На основе этого утверждения составим и решим два простейших тригонометрических уравнения: 1) sinx - 1 = 0 и 2) tgx - 1 = 0. При sinx - 1 = 0, имеем: sinx = 1. Это уравнение имеет следующее решение: х = π/2 + 2 * π * m, где m ∈ Z, Z - множество целых чисел. Проверим эти решения с условием существования данного уравнения. Исключим из этой серии те х, если таковые имеются, которые удовлетворяют равенству: π/2 + 2 * π * m = π/2 + π * k или 2 * π * m = π * k, откуда 2 * m = k. Это равенство выполнится, если k - чётное число. Это означает, что данное уравнение имеет серию решений: х = π/2 + 2 * π * m, где 2 * m ≠ k и k, m ∈ Z. Это первая серия решений данного уравнения. При tgx - 1 = 0, имеем: tgx = 1. Это уравнение имеет две серии решений: х = π/4 + 2 * π * p и х = 5 * π/4 + 2 * π * q, где p, q ∈ Z. Проверим эти решения с условием существования данного уравнения. Имеем: π/4 + 2 * π * p = π/2 + π * k или 2 * π * p - π/4 = π * k, откуда 4 * (2 * p - k) = 1. Ясно, что это равенство при p, k ∈ Z, не имеет решения. Аналогично, имеем: 5 * π/4 + 2 * π * q = π/2 + π * k или 2 * π * q + 3 * π/4 = π * k, откуда 4 * (k - 2 * q) = 3. Ясно, что это равенство также при q, k ∈ Z, не имеет решения. Значит найденные две серии решений уравнения tgx - 1 = 0 являются последующими двумя сериями решений данного уравнения. Теперь найдём те корни (решения) данного уравнения, которые принадлежат к множеству [0, π]. Рассмотрим все 3 серии решений. А) Имеем: 0 ≤ π/2 + 2 * π * m ≤ π или - π/2 ≤ 2 * π * m ≤ π/2, откуда - ¼ ≤ m ≤ ¼. Это двойное неравенство имеет одно целочисленное решение m = 0. Однако, при m = 0, получим: 2 * m = 0, что противоречит условию 2 * m ≠ k, где k, m ∈ Z. Это означает, что из этой серии ни одно решение не принадлежит к множеству [0; π]. Б) Имеем: 0 ≤ π/4 + 2 * π * p ≤ π или - π/4 ≤ 2 * π * p ≤ 3 * π/4, откуда - 1/8 ≤ p ≤ 3/8. Это двойное неравенство имеет одно целочисленное решение p = 0. При p = 0, получим: х = π/4. В) Имеем: 0 ≤ 5 * π/4 + 2 * π * q ≤ π или - 5 * π/4 ≤ 2 * π * q ≤ - π/4, откуда - 5/8 ≤ q ≤ - 1/8. Это двойное неравенство не имеет целочисленное решения. Таким образом, только одно решение х = π/4 данного уравнения принадлежит к множеству [0; π]. Что и требовалось доказать.