В треугольнике ABC проведена высота BD (точка D лежит на стороне AC). Оказалось, что, 2AB=CD и 2CB=AD. Найдите углы треугольника ABC.

Пусть СD = х, тогда АВ будет равно 2 х. Пусть AD = у, тогда ВС будет равно 2 у.

Треугольник АВD прямоугольный, выразим сторону BD по теореме Пифагора:

BD² = AB² - AD² = (2x) ² - y² = 4x² - y².

Треугольник BCD прямоугольный, выразим сторону BD по теореме Пифагора:

BD² = ВС² - CD² = (2y) ² - x² = 4y² - x².

Значит 4x² - y² = 4y² - x².

4 х² + x² = 4y² + y².

5x² = 5y².

x² = y².

Cледовательно, х = у, то есть AD = CD = х = у. Значит, АС = 2 х = 2 у.

Значит, АВ = ВС = АС.

Следовательно, треугольник АВС - равносторонний и все углы треугольника равны 60°.