Делится ли число 111 ... 1 на 7 без остатка?

Пусть число А записывается одними единицами и этих количество единиц n:

А = 111111 ... 111111 (n единиц).

Представим А в виде десятичного разложения:

А = 10^ (n - 1) + ... + 10^5 + 10^4 + 10^3 + 10^2 + 10 + 1.

Заметим, что 111111 = 7 * 15873, а числа 1, 11, 111, 1111, 11111 не делятся на 7.

Таким образом, если разбить все единицы числа А на группы по 6 единиц, то получим;

А = ... + 111111 * 10^12 + 111111 * 10^6 + 111111.

Из разложения получаем, что А может делиться на 7, если количество единиц в числе кратно 6.