Докажите, что значение выражения х^2+2 у^2+2 ху+6 у+10 положительно при любых значениях

Произведем преобразования выражения:

х^2 + 2 * у^2 + 2 * х * у + 6 * у + 10 =

= х^2 + у^2 + у^2 + 2 * х * у + 6 * у + 9 + 1 =

= (х^2 + 2 * х * у + у^2) + (у^2 + 6 * у + 9) + 1 =

= (x + y) ^2 + (y + 3) ^2 + 1.

Так как, (x + y) ^2 > = 0 и (y + 3) ^2 > = 0 при любых значениях x и y, то:

(x + y) ^2 + (y + 3) ^2 + 1 > = 0 + 0 + 1=1 > 0,

что и требовалось доказать.