Решите неравенство: 2 (х^2+2) >=х (х+5)

Прежде всего, данное неравенство перепишем в виде: 2 * х² + 2 * 2 ≥ х * х + х * 5. Собирая все одночлены в левой стороне неравенства и приводя подобные члены, получим неравенство: х² - 5 * х + 4 ≥ 0. Для того, чтобы решить последнее неравенство, воспользуемся тем, что выражение х² - 5 * х + 4 является квадратным трёхчленом. Решим квадратное уравнение х² - 5 * х + 4 = 0. Найдем дискриминант D квадратного уравнения: D = (-5) ² - 4 * 1 * 4 = 25 - 16 = 9. Поскольку дискриминант больше нуля то, квадратное уравнение имеет два действительных корня: x₁ = (5 - √ (9)) / 2 = (5 - 3) / 2 = 2/2 = 1 и x₂ = (5 + √ (9)) / 2 = (5 + 3) / 2 = 8/2 = 4. Следовательно, квадратный трёхчлен х² - 5 * х + 4 можно разложить на множители следующим образом: х² - 5 * х + 4 = (х - 1) * (х - 4). Итак, данное неравенство равносильно неравенству (х - 1) * (х - 4) ≥ 0, которое в свою очередь выполнится, если линейные множители х - 1 и х - 4 будут удовлетворять условиям: а) х - 1 ≥ 0 и х - 4 ≥ 0 или б) х - 1 ≤ 0 и х - 4 ≤ 0. В случае А) получим: х ≥ 1 и х ≥ 4, откуда х ≥ 4, то есть х ∈ [4; + ∞), аналогично, в случае б) х ≤ 1 и х ≤ 4, откуда х ≤ 1, то есть х ∈ (-∞; 1]. Таким образом, решением данного неравенства является объединение (-∞; 1] ∪ [4; + ∞).

Ответ: х ∈ (-∞; 1] ∪ [4; + ∞).