Найдите область значений функции у=x^2-6x-13, где х Е [-2; 7]

1. Исследуем данную квадратичную функцию.

a) График функции у = x^2 - 6x - 13 - парабола с ветвями, направленными вверх.

b) Выделим полный квадрат двучлена и найдем координаты вершины параболы:

у = x^2 - 6x - 13; у = x^2 - 6x + 9 - 9 - 13; у = (x - 3) ^2 - 22; x0 = 3; y0 = - 22.

2. Абсцисса вершины параболы x0 = 3 принадлежит заданному промежутку [-2; 7], причем, наиболее отдаленным концом отрезка является левый конец:

x0 - x1 = 3 - (-2) = 3 + 2 = 5; x2 - x0 = 7 - 3 = 4.

Из этого следует, что на этом промежутке наименьшее значение функция принимает в точке x0 = 3, а наибольшее значение - в точке x1 = - 2:

у = x^2 - 6x - 13; y (min) = y (x0) = y (3) = - 22; y (max) = y (x1) = y (-2) = (-2) ^2 - 6 * (-2) - 13 = 4 + 12 - 13 = 3.

Область значений функции: y ∈ [-22; 3].

Ответ: [-22; 3].