Треугольник FRT задан координатами своих вершин: F (2; -2), R (2; 3), T (-2; 1). а) Докажите, что треугольник FRT - равнобедренный. б) Найдите высоту, проведенную из вершины F.

F (2; - 2), R (2; 3), T (-2; 1)

а) Найдем длины сторон треугольника по формуле: если точки А и В заданы своими координатами А (х; у) и В (х1; у1), то |АВ| = √[ (х1 - х) ² + у1 - у) ²].

|FR| = √[ (2 - 2) ² + (3 - (-2)) ²] = √[0 + 25] = 5 ед.

|RT| = √[ ((-2) - 2) ² + (1 - 3) ²] = √[16 + 4] = √20 = 2√5 ед.

|FT| = √[ ((-2) - 2) ² + (1 - (-2) ²] = √[16 + 9] = √25 = 5 ед.

Заметим, что |FR| = |FT| = 5 ед., значит в заданном треугольнике две стороны равны между собой по длине, что является определением равнобедренного треугольника. Ч. т. д.

б) Итак, мы доказали, что наш треугольник - равнобедренный, значит высота FO проведенная на сторону TR является и его медианой (по свойству равнобедренного треугольника), и следовательно точка О делит сторону TR пополам, т. е TO = TR.

Зная координаты точек T (-2; 1) и R (2; 3) можем найти координату точки О, а затем и длину FO.

Координаты точки О, как середины отрезка TR: (^{-2 + 2}/₂; ^{1 + 3}/₂) = О (0; 2).

Имеем F (2; - 2) и О (0; 2).

|FО| = √[ (0 - 2) ² + (2 - (-2)) ²] = √[4 + 16] = √20 = 2√5 ед.