Помогите решить! В прямоугольном ∆АВС угол С = 90 градусов, CD - высота, а один из катетов вдвое больше другого. В ∆ACD и ∆BCD проведены биссектрисы DK и DP соответственно. Найдите площадь ∆АВС, если KP=4.

Высота СD прямоугольного треугольника ⊿ АВС делит его на подобные треугольники:

⊿ АСD ~ ⊿ ВСD = СD : ВD = 2 : 1.

Т. к. DK и DP - биссектрисы, то ∠ ADK = ∠ KDC = ∠ CDP = ∠ BDP = 450 ⇒ ∠ КDP = 90º.

Четырехугольник КCDP - квадрат, следовательно СD = KP = 4. По теореме Пифагора найдем СP = √16 = 2 √2/

Биссектриса треугольника делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам ⇒

СР: РВ = 2 : 1⇒

2 РВ = 2 √2;

РВ = √2;

BC = СР + РВ = 2√2 + √2 = 3√2;

АС = 2 ВС = 6√2;

S⊿ ABC = AC * BC : 2 = (6√2 * 3√2) : 2 = 18.

Ответ: 18