В прямоугольной трапеции меньшее основание равно 3 см, большая боковая сторона 4 см, а один из углов трапеции равен 150 градусов. найдите площадь трапеции

Трапецией называется четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, и стороны не равны между собой.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту:

S = (a + b) / 2 ∙ h, где:

S - площадь трапеции;

a, b - основания трапеции;

h - высота.

Если перпендикуляры трапеции опущенные из тупых углов к большему основанию, то отрезок, расположенный между ними равен длине меньшего основания:

НD = ВС.

Рассмотрим треугольник ΔАВН. Данный треугольник есть прямоугольным с прямым углом ∠АНВ.

Вычислим градусную меру угла ∠АВН. Так как угол ∠НВС = 90º, то:

∠АВН = 150º - 90º = 60º.

С помощью теоремы косинусов найдем длину высоты ВН.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника есть отношение прилежащего катета к гипотенузе:

cos B = ВН / АВ;

cos 60º = 1 / 2;

ВН = АВ · cos B;

ВН = 4 ∙ 1 / 2 = 4 / 2 = 2 см.

Для того чтобы найти длину большего основания, вычислим отрезок АН. Для этого применим теорему Пифагора, согласно которой квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

АВ² = ВН² + АН²;

АН² = АВ² - ВН²;

АН² = 4² + 2² = 16 - 4 = 12;

АН = √12 = 3,46 см.

АD = АН + НD;

АD = 3,46 + 3 = 6,46 см.

S = (3 + 6,46) / 2 · 2 = 9,46 см².

Ответ: площадь трапеции равна 9,46 см².