В прямоугольной трапеции меньшее основание равно 3 см., большая боковая сторона равна 4 см., а один из углов трапеции равен 150 градусов, найдите площадь трапеции

Прямоугольной есть трапеция, в которой одна боковая сторона перпендикулярна ее основаниям.

Площадь трапеции - это произведение полусуммы ее оснований на высоту:

S = (a + b) / 2 · h, где:

S - площадь трапеции;

a - меньшее основание;

b - большее основание;

h - высота трапеции.

Для этого нужно найти длину большего основания АД и высоту ВН.

Рассмотрим треугольник ΔАВН.

Для вычисления высоты ВН воспользуемся тоеремой синусов. Синусом острого угла прямоугольного треугольника есть отношение противолежащего катета к гипотенузе:

sin A = ВН / АВ;

ВН = АВ ∙ sin A.

Так как сумма углов трапеции, прилежащих к одной боковой стороне равна 180º, то:

∠А = 180º - ∠В;

∠А = 180º - 150º = 30º;

sin 30º = 1 / 2;

ВН = 4 · 1 / 2 = 4 / 2 = 2 см.

Для того чтобы найти длину большего основания, найдем отрезок АН. Применим теорему Пифагора:

АВ² = ВН² + АН²;

АН² = АВ² - ВН²;

АН² = 4² - 2² = 16 - 4 = 12;

АН = √12 ≈ 3,5.

Для того чтобы найти длину большего основания нужно:

АД = АН + НД;

АД = 3,5 + 3 = 6,5 см.

S = (3 + 6,5) / 2 · 2 = 9,5 см².

Ответ: площадь трапеции равна 9,5 см².