Биссектриса угла А треугольника АВС перпендикулярна стороне ВС. Докажите, что АВ=АС

Дан △ABC: AH⊥BC, ∠CAH = ∠BAH. Доказать, что AB = AC.

Биссектриса AH делит △ABC на два треугольника - △AHC и △AHB.

В △AHC и △AHB ∠AHC и ∠AHB равны по 90°, так как AH⊥BC, тогда △AHC и △AHB - прямоугольные треугольники.

Так как катет AH в △AHC и △AHB общий, а ∠CAH = ∠BAH, то эти прямоугольные треугольники равны по катету и острому углу.

Таким образом:

CH = BH.

Так как сторона BC точкой H делится пополам, то AH является медианой.

Так как AH и биссектриса, и высота, и медиана в △ABC, то она является и биссектрисой, и высотой, и медианой, проведенной из вершины равнобедренного △ABC к основанию BC. Так как BC - основание равнобедренного треугольника, то AC и AB - его боковые стороны, значит AC = AB, что и требовалось доказать.