Докажите что периметр треугольника меньше удвоенной суммы его медиан

Стороны треугольника a, b, с противолежат вершинам A, B, C соответственно. Тогда медиана из вершины с меньше (a+b) / 2 (достроим ABC до параллелограмма, тогда медиана - половина одной из диагоналей, вторая диагональ - сторона, удвоенная медиана меньше суммы сторон).

Просуммировав для всех медиан получим, что их сумма меньше периметра.

Аналогично обозначив медиану m из вершины A получим неравенства m+a/2>b или m+a/2>c. Просуммировав для всех медиан получим, что их сумма плюс полупериметр больше, чем периметр. Т. е. сумма больше полупериметра.