В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 70, а один из острых углов равен 45°. Найдите площадь треугольника.

Дано:

прямоугольный треугольник АВС;

угол С = 90 градусов;

угол А = 45 градусов;

АВ = 70.

Найти площадь треугольника АВС, то есть S АВС - ?

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС. Зная, что сумма градусных мер треугольника равна 180 градусов. Получим:

угол В = 180 - угол А - угол С;

угол В = 180 - 45 - 90;

угол В = 45 градусов.

Тогда прямоугольный треугольник АВС является равнобедренным, то есть АС = ВС.

По теореме Пифагора:

АС^2 + АС^2 = АВ^2;

2 * АС^2 = 4900;

АС^2 = 4900 : 2;

АС^2 = 2450;

АС = 35√2.

То S АВС = 1/2 * 35√2 * 35√2 = 1225.

Ответ: 1225.

Нам необходимо определить площадь прямоугольного треугольника.

Из курса геометрии нам известно, что площадь прямоугольного треугольника находится согласно следующей формуле:

S = 1/2 * a * b

где:

S - площадь прямоугольного треугольника; a - первый катет; b - второй катет соответственно. Найдем катеты прямоугольного треугольника

Из условия задачи нам известно, что длина гипотенузы рассматриваемого прямоугольного треугольника составляет c = 70 см, а один из его острых углов равен 45^о.

Найдем третий угол данного треугольника:

Так как треугольник является прямоугольным следовательно один из его углов составляет 90^о.

Воспользуемся теоремой о сумме углов треугольника которая гласит, что:

Сумма углов треугольника на евклидовой плоскости равна 180^о.

Следовательно третий угол составит:

180^о - (90^о + 45^о) = 180^о - 135^о = 45^о

Следовательно мы можем утверждать, что длины катетов данного треугольника будут равны.

Согласно теореме Пифагора мы знаем, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

c² = a² + b²

Но катеты равны a = b. Следовательно:

c² = a² + a² = 2 * a²

Тогда:

a = sqrt (c² / 2)

где sqrt - корень квадратный.

Получаем:

a = sqrt (c² / 2) = sqrt (70² / 2) = 70 * sqrt 1/2

Найдем площадь прямоугольного треугольника

Вернемся к формуле площади и с учетом равнобедренности данного треугольника получим, что:

S = 1/2 * a * b = 1/2 * a * a = 1/2 * a²

Таким образом мы получаем, что площадь прямоугольного треугольника составляет

S = 1/2 * (70 * sqrt 1/2) ² = 1/2 * 4900 * 1/2 = 2450 / 2 = 1225 см²

Ответ: 1225 см²