В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 8, а один из острых углов равен 45°. Найдите площадь треугольника.

Дано:

Прямоугольный треугольник АВС

угол С = 90 градусов,

АВ - гипотенуза,

АВ = 8,

угол А = 45 градусов.

Найти площадь треугольника АВС, то есть S АВС - ?

Решение:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС. Сумма градусных мер углов треугольника равна 180 градусов. Тогда угол В = 180 - угол А - угол С;

угол В = 180 - 45 - 90;

угол В = 45 градусов.

Следовательно прямоугольный треугольник АВС является еще и равнобедренным, тогда АС = ВС.

2. По теореме Пифагора (квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов):

АС^2 + ВС^2 = АВ^2 (пусть АВ = ВС = х сантиметров);

х^2 + х^2 = 8^2;

2 * х^2 = 64;

х^2 = 64 : 2;

х^2 = 32.

3. S АВС = 1/2 * АС * ВС;

S АВС = 1/2 * 32;

S АВС = 16.

Ответ: 16.

Определение угла второго катета

Как известно, сумма всех углов треугольника должна составлять 180 градусов.

В таком случае, поскольку данный треугольник является прямоугольным, значит один из его улов равен 90 градусам.

Следовательно, поскольку один из катетов равен 45 градусам, значит градусная величина второго катета составит:

180 - 90 - 45 = 180 - 135 = 45 градусов.

Мы получаем равносторонний треугольник.

Определение площади треугольника по теореме Пифагора

Составим буквенное выражение, в котором:

S - площадь треугольника; a - значение стороны одного из катетов; c - величина гипотенузы (по условию задачи 8 см).

В таком случае, по теореме Пифагора поучим:

c^2 = a^2 + a^2.

Суммируем значение катетов.

c^2 = 2 * a^2.

Выведем значение катета а:

а = с / (2) - квадратный корень.

Площадь треугольника определяется по следующей формуле:

S = 1/2 * a^2.

Подставим вместо а полученное значение ранее.

S = 1/2 * c^2 / 2 = 1/2 * 8^2 / 2 = 64 / 4 = 16 см^2.

Ответ:

Площадь прямоугольного треугольника равна 16 см^2.