Высота CD проведённая к основанию AB равнобедренного треугольника ABC равна 3 см, AB=8 см. Найдите радиусы вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей.

1. Радиус описанной окружности:

R = a^2 / 2h,

где а - боковая сторона равнобедренного треугольника, h - высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника.

Так как треугольник АВС - равнобедренный, АВ - основание, то CD - не только высота, но и медиана, поэтому отрезки AD и DB равны половине АВ:

AD = DB = АВ/2 = 8/2 = 4 (см).

Найдем АС (по теореме Пифагора):

АС = √ (CD^2 + AD^2) = √ (3^2 + 4^2) = √ (9 + 16) = √25 = 5 (см).

АС = ВС = 5 см.

R = 5^2 / 2*3 = 25/6 = 4 целых 1/3 (см).

2. Радиус вписанной окружности:

r = S/p,

где S - площадь треугольника, в который вписана окружность, p - полупериметр треугольника.

p = (2a + b) / 2 = (2*5 + 8) / 2 = 18/2 = 9 (см).

Площадь треугольника по формуле Герона:

S = √ (p (p - a) ^2 * (p - b)) = √ (9 (9 - 5) ^2 * (9 - 8)) = √ (9*4^2*1) = √9*16*1 = √144 = 12 (см квадратных).

r = 12/9 = 4/3 = 1 целая 1/3 (см).

Ответ: r = 1 целая 1/3 см, R = 4 целых 1/3 см.