Основание равнобедренного треугольника равно 18 см, а боковая сторона равна 15 см. Найдите радиусы вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей

В равнобедренном треугольнике а - боковые стороны, b - основание, h - высота, опущенная на основание, r - радиус вписанной окружности, R - радиус описанной окружности.

1. Найдем радиус вписанной окружности:

r = b/2 * √ ((2a - b) / (2a + b));

r = 18/2 * √ ((2 * 15 - 18) / (2 * 15 + 18));

r = 9 * √ ((30 - 18) / (30 + 18);

r = 9 * √ (12 / 48);

r = 9 * √ (1/4);

r = 9 / 2;

r = 4,5 см.

2. Радиус описанной окружности найдем по формуле:

R = a^2 / 2h

Найдем h. h делит данный по условию треугольник на два равных прямоугольных треугольника с одним из катетов равным половине основания исходного треугольника (так как высота в равнобедренном треугольнике является также и медианой). Тогда высота находится по теореме Пифагора:

h = √ (a^2 - (b/2) ^2);

h = √ (15^2 - (18/2) ^2);

h = √ (225 - 9^2);

h = √ (225 - 81);

h = √144;

h = 12 см.

Найдем радиус описанной окружности:

R = 15^2 / 2*12 = 225 / 24 = 9, 375 (см).

Ответ: r = 4,5 см, R = 9, 375 см.