Две стороны остроугольного треугольника равны 13 см и 15 см. Высота, проведенная к третьей стороне, равна 12 см. Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника

Обозначим наш треугольник АВС, по условию известны: АВ = 13 см, ВС = 15 см, высота ВН = 12 см.

Чтобы найти радиусы вписанной и описанной окружности нужна третья сторона АС треугольника.

Из прямоугольного треугольника АНВ найдём АН:

АН = √ (AB² - BH²) = √ (169 - 144) = √25 = 5 (см).

Из прямоугольного треугольника СНВ найдём СН:

CH = √ (BC² - BH²) = √ (225 - 144) = √81 = 9 (см).

АС = АН + СН = 5 + 9 = 14 (см).

Найдём площадь треугольника АВС:

S = 1/2 * AC * BH = 1/2 * 14 * 12 = 84 (см²).

Радиус описанной окружности: R = a * b * c / 4S = 13 * 15 * 14 / 4 * 84 = 2730 / 336 = 8,125 см.

Радиус вписанной окружности: r = 2S / (a + b + c) = 2 * 84 / (13 + 15 + 14) = 168 / 42 = 4 см.

Ответ: R = 8,125 см, r = 4 см.