Вычислите площадь треугольника, длины сторон которого равны 4 см и 8 см, а величина угла, образованного этими сторонами, вдвое меньше смежного с ним внешнего угла треугольника.

1. А, В, С вершины треугольника. ∠1 - внешний угол, смежный с ∠А. АВ = 4 см. ВС = 8 см.

S - площадь треугольника. АЕ - высота, проведённая к стороне ВС.

2. ∠1 = 2∠А по условию задачи. ∠1 = ∠В + ∠С (согласно теореме о внешнем угле треугольника).

3. ∠А + ∠В + ∠С = 180° (согласно теореме о сумме углов треугольника).

4. Заменяем (∠В + ∠С) на 2∠А:

∠А + 2∠А = 180°.

∠А = 60°.

5. АЕ: АВ = синус ∠А = синус 60° = √3/2.

АЕ = АВ х √3/2 = 4 х √3/2 = 2√3 см.

6. S = ВС/2 х АЕ = 8/2 х 2√3 = 8√3 см²