Боковая сторона равнобедренного треугольника меньше основания на 9 см, а отрезки, на которые биссектриса при основании делит высоту, проведённую к основанию, относятся как 5:4. Найти высоту треугольника, проведённую к основанию.

Обозначим данный треугольник АВС, основание АС = х см, боковая сторона АВ = (х - 9) см. Высота ВН, точка О - точка пересечения биссектрисы и высоты.

Рассмотрим треугольник АВН и по свойству биссектрисы угла записываем отношение сторон этого треугольника:

АВ/АН = ВО/ОН = 5/4.

АН = х/2 (половина основания, треугольник АВС равнобедренный по условию).

(х - 9) / х/2 = 5/4

4 х - 36 = 5 х/2

8 х - 72 = 5 х

х = 24 (см) - основание АС.

АВ = 24 - 9 = 15 (см).

АН = 24 / 2 = 12 (см).

По теореме Пифагора в треугольнике АВН находим катет ВН (высота треугольника АВС):

ВН = √ (АВ² - AH²) = √ (225 - 144) = √81 = 9 (см).

Ответ: 9 см высота треугольника.