1) Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 13 см, а его медиана, проведена к основанию, 5 см. найдите площадь и периметр треугольника. 2) Биссектриса угла A параллелограмма ABCD делит сторону BC на отрезки BK=6 см и KC=3 см. Чему равен периметр параллелограмма? 3) В равнобедренной трапеции ABCD диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD. Найдите площадь трапеции, если угол CAD=30 градусов, AD=12 см. 4) В окружности проведены 2 хорды AB и CD пересекающиеся в точке M, MB - 10=см, AM=12 см, DC = 23 см Найдите длину CM и DM.

1)

Нам известно, что медиана, опущенная к основанию равнобедренного треугольника, делит основание по полам и образует с ним угол в 90°. Значит медиана делит данный треугольник на 2 равных прямоугольных треугольника, у которых гипотенузы - боковые стороны, а катеты - медиана и половина основания.

Значит по теореме Пифагора мы можем найти половину основания:

13² - 5² = 169 - 25 = 144 = 12².

Половина основания равна 12, тогда:

12 * 2 = 24 см - основание треугольника:

Р = 13 + 13 + 24 = 50 см;

S = 1/2 ВН * АС = 1/2 * 24 * 13 = 156 см².

2)

Так как АК биссектриса угла А, то угол ВАК = ДАК.

Стороны ВС и АД параллельны, тогда углы КАД и ВКА равны как лежащие накрест.

Тогда угол ВАК = ВКА = ДАК, а треугольник АВК равнобокий, АВ = ВК = 4 см.

Длина стороны ВС = (ВК + СК) = 4 + 3 = 7 см.

Тогда Равсд = 2 * (АВ + ВС) = 2 * (4 + 7) = 22 см.

Ответ: Периметр параллелограмма равен 22 см.

3)

Треугольник АСД прямоугольный, угол САД = 30°, значит угол СДА = 90 - 30 = 60°.

Так как трапеция равнобедренная, то угол ВАД = 60°, а сторона АВ = СД = 12 : 2 = 6 см (треугольник АСД прямоугольный с углом 30°, катет лежащий напротив угла в 30° равен половине гипотенузы. То есть 12 : 2 = 6 см)

Треугольник АВС равнобедренный, так как угол ВСА = углу САД = 30° накрест лежащие при параллельных ВС и АД, угол ВАС = 30°. Так как треугольник АВС равнобедренный, то АВ = ВС = 6 см. Площадь равна (6 + 12) : 2 * 3√3 = 27√ 3 см².

Высота этой трапеции 3√3, находится из треугольника АВН по теореме Пифагора 6² - 3² = 27.

Ответ 27√ 3 см².

4)

Так как в окружности проведены 2 хорды и они пересекаются в точке М, то АМ * МВ = СМ * МD.

Далее просто подставляем числа и получаем, что:

12 * 10 = СМ * МD = 120,

Так как DC = 23 = CM + MD.

Пусть СМ = х см, тогда MD = 120/х,

х + 120/Х = 23,

(х² + 120) / х = 23,

23 * х = х² + 120.

Решаем квадратичное уравнение через дискриминант:

Получаем что х1 = 8, а х2 = 15,

если СМ = 8, тогда MD = 23 - 8 = 15.

Ответ: 8 и 15.