В треугольнике ABC угол C=30 градусов, AB=7, а угол между сторонами AB и BC равен 120 градусов. Найдите а) Сторону AC. б) Площадь треугольника.

Так как сумма всех углов треугольника равна 180º, то:

∠А = 180º - ∠В - ∠С;

∠А = 180º - 120º - 30º = 30º.

Данный треугольник является равнобедренным, така как углы при основании АС у него равны. По-этому ВС = АВ = 7 см.

Для того чтобы вычислить длину стороны АС, проведем высоту ВН. Высота равнобедренного треугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника:

ΔАВН = ΔНВС.

Так же высота равнобедренного треугольника является еще и биссектрисой, которая делит угол ∠В пополам:

∠АВН = ∠НВС = 120º / 2 = 60º.

Рассмотрим треугольник ΔАВН.

Для вычисления высоты ВН воспользуемся теоремой синусов.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника есть отношение противолежащего катета к гипотенузе:

sin A = ВН / АВ;

ВН = АВ · sin A;

sin 30º = 1 / 2;

ВН = 7 · 1 / 2 = 3,5 см.

С помощью теоремы Пифагора найдем сторону АН:

АВ² = ВН² + АН²;

АН² = АВ² - ВН²;

АН² = 7² - 3,5² = 49 - 12,25 = 36,75;

АН = √36,75 ≈ 6,06 см.

НС = АН = 6,06 см;

АС = АН + НС;

АС = 6,06 + 6,06 = 12,12 см.

Площадь треугольника равна произведению половины его основания на высоту:

S = 1 / 2 · a · h, где:

a - основание треугольника;

h - высота треугольника;

S = 1 / 2 · АС · ВН;

S = 1 / 2 · 12,12 · 3,5 = 42,42 / 2 = 21,21 см².

Ответ: длина АС равна 12,12 см; площадь треугольника ΔАВС равна 21,21 см².