Точки касания сторон треугольника с окружностью, вписанной в него, делят окружность на дуги в отношении 10:11:15. Найдите углы этого треугольника.

Дан △ABC, O - центр вписанной окружности, M, N и K - точки касания окружности со сторонами AB, BC и AC соответственно.

1. Дуга MN + Дуга NK + Дуга MK = 360°.

Пусть x - коэффициент пропорциональности, тогда:

10 * x + 11 * x + 15 * x = 360°;

36 * x = 360°;

x = 360°/36;

x = 10°.

Таким образом:

Дуга MN = 10 * x = 10 * 10° = 100°;

Дуга NK = 11 * x = 11 * 10° = 110°;

Дуга MK = 15 * x = 15 * 10° = 150°.

2. Из точки O к точкам касания проведем радиусы.

2.1. Рассмотрим AMOK: ∠AMO = ∠AKO = 90° (так как радиус, проведенный в точку касания из центра окружности, перпендикулярен касательной), ∠MOK = 150° (так как градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается).

По теореме о сумме углов четырехугольника:

∠KAM + ∠AMO + ∠MOK + ∠AKO = 360°;

∠KAM + 90° + 150° + 90° = 360°;

∠KAM + 330° = 360°;

∠KAM = 360° - 330°;

∠KAM = 30°.

∠KAM = ∠A = 30°.

2.2. Рассмотрим BMON: ∠BMO = ∠BNO = 90°, ∠MON = 100°.

По теореме о сумме углов четырехугольника:

∠MBN + ∠BMO + ∠MON + ∠BNO = 360°;

∠MBN + 90° + 100° + 90° = 360°;

∠MBN + 280° = 360°;

∠MBN = 360° - 280°;

∠MBN = 80°.

∠MBN = ∠B = 80°.

2.3. Рассмотрим CNOK: ∠CKO = ∠CNO = 90°, ∠KON = 110°.

По теореме о сумме углов четырехугольника:

∠NCK + ∠CKO + ∠KON + ∠CNO = 360°;

∠NCK + 90° + 110° + 90° = 360°;

∠NCK + 290° = 360°;

∠NCK = 360° - 290°;

∠NCK = 70°.

∠NCK = ∠C = 70°.

Ответ: ∠A = 30°, ∠B = 80°, ∠C = 70°.